4.3 • Déterminants
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• Transposée
• Opérations sur les rangées
➤ On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une de
ses lignes (resp. colonnes) une combinaison linéaire des autres
lignes (resp. colonnes).
➤ Multiplier une ligne (ou une colonne) d’un déterminant par un
scalaire, c’est multiplier le déterminant par ce scalaire. On utilise
surtout cette propriété pour factoriser un terme dans une rangée.
➤ Pour n’importe quelle rangée, on a la propriété de linéarité (donnée
ici sur la première colonne) :
➤ L’échange de deux lignes (ou de deux colonnes) transforme det A
en – det A.
➤ Le calcul d’un déterminant peut se faire en développant par rapport
à n’importe quelle rangée.
• Autres propriétés
➤ Si deux rangées sont proportionnelles, le déterminant est nul.
➤ Le déterminant du produit de deux matrices carrées A et B, d’ordre
n est égal au produit de leurs déterminants :
➤ Une matrice A est inversible si, et seulement si,
.
➤ Si A est une matrice inversible, alors :
➤ Une famille de n vecteurs de R
n est une base si, et seulement si, son
déterminant est non nul.
det
det( )
t
A
A
=
.
Les propriétés concernant les colonnes de A s’appliquent donc
aussi aux lignes. Dans les deux cas, on parlera de rangées.
Cette propriété est très utilisée pour faire apparaître des 0 sur une
colonne (resp. ligne).
1
1
1
2
1
2
2
det(
) det(
) det(
)
n
n
n
C
C … C
C C … C
C … C
C
C
+ , , ,
=
, , ,
+
, , ,
′
′
det( ) det
det
AB
A
B
=
×
.
det
0
A ≠
1
1
det( )
det
A
A
−
=
⋅