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Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
la règle de signes suggérée par :
4.3.2 Déterminants d’ordre n
Les propriétés énoncées au paragraphe précédent peuvent servir à
généraliser par récurrence la notion de déterminant à une famille
quelconque de n vecteurs (pris dans R
n
) ou à une matrice carrée
d’ordre n.
• Définition
On appelle déterminant d’une matrice carrée
, le nombre
noté det A et obtenu par récurrence sur l’ordre n, de la manière
suivante :
– si n = 1 : la matrice u = (α) a un seul coefficient et son déterminant
est égal à α ;
– pour n > 1 on pose :
où ∆ 1j désigne le déterminant de la matrice carrée d’ordre n – 1 obtenue à partir de A en supprimant la première ligne et la j-ième colonne.
Cette formule de calcul est le développement par rapport à la
première ligne.
• Notation
Le déterminant de la matrice A est noté :
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
x y z
y z
x z
x y
x y z
x
y
z
y z
x z
x y
x y z
= +
−
+
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
y z
x z
x y
x
y
z
y z
x z
x y
= −
+
−
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
2
y z
x z
x y
x
y
z
y z
x z
x y
= +
−
+
( )
ij
A α
=
1
1
11 11
1
1
1
1
det
( 1)
( 1)
j
n
j
j
n
n
A α
α
α
+
+
=
∆ + + −
∆ + + −
∆
"
"
11
1
1
det
n
n
n n
A
α
α
α
α
=
"
#
#
"