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Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
➤ Remarques
À la différence des nombres :
– Si A et B sont deux matrices carrées de même format, en général,
(on dit que le produit matriciel n’est pas commutatif) ;
– Il est faux de croire que si AB = 0, alors A = 0 ou B = 0.
• Formule du binôme
À la condition que AB = BA, on a (comme pour les nombres) :
• Matrices inversibles
➤ Matrice unité
On appelle matrice unité d’ordre n, la matrice diagonale ne
comportant que des 1, notée :
.
Quelle que soit la matrice A, carrée d’ordre n, on a :
.
On retrouve la propriété du nombre 1 pour les nombres.
Remarquons aussi que si X est une matrice colonne de n lignes,
.
➤ Matrice inversible
Soit une matrice
M n . S’il existe une matrice
M n vérifiant
, la matrice C est unique et est appelée l’inverse de A.
On la note
.
Reprenons le système d’équations linéaires déjà rencontré
.
Si A est inversible, ce système devient
, c’est-à-dire,
et la résolution est achevée.
Nous verrons plus loin (cf. déterminants) comment caractériser le
fait que A est inversible. Dans ce cas, le calcul de A
–1 se fait en résolvant un système linéaire, comme ci-dessus.
➤ Propriétés des matrices inversibles
➤ Cas d’une matrice diagonale
Une matrice diagonale
est inversible si, et
seulement si, tous ses coefficients diagonaux sont non nuls et alors :
,...,
AB BA
≠
0
(
)
n
n
k
n k
k
n
n
A B
A B
k
−
=
∀ ∈
+
=
.
`
∑ ( )
diag (1 1)
n
I
…
=
, ,
n
n
I A AI
A
=
=
n
I X X
=
A ∈
C ∈
n
AC CA I
=
=
1
C A
−
=
AX B
=
1
1
A AX A B
−
−
=
1
2
I X X A B
−
= =
1 1
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
t
t
A
A
A
A
AB
B A
− −
−
−
−
−
−
=
;
=
;
=
t
11
diag (
)
nn
D
d …d
=
, ,
1
11
1
diag
D
d
−
=
(
1
nn
d
.
)