4.2 • Matrices
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Cette écriture sous forme de tableaux fut introduite pour la première fois par Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) lorsqu’il étudia les transformations linéaires. Elle est
indissociée de l’opération qui en résulte, c’est-à-dire du produit de deux matrices
que nous allons définir.
➤ Définition
Pour
M nm et
M mp , on définit le produit
M np par :
Le produit de deux matrices n’ est possible que si le nombre de colonnes de la première est
égal au nombre de lignes de la seconde.
➤ Exemples
– Pour les matrices
et
les deux
produits AB et BA sont possibles :
– Le produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne donne une
matrice à une ligne et une colonne :
– Le produit de deux matrices diagonales de même format est une
matrice diagonale :
➤ Propriétés
Comme pour les nombres et quand les produits sont définis, on a :
–
;
– Si 0 est la matrice nulle (avec les dimensions adéquates), alors
quelle que soit la matrice A, A0 = 0 et 0A = 0.
– Pour deux matrices quelconques A et B telles que le produit AB soit
possible, on a :
t (AB) =
t B
t A.
( )
ij
A a
=
∈
( )
ij
B b
=
∈
( )
ij
AB C c
= =
∈
1 1
2 2
1
m
ij
i
j
i
j
im mj
ik kj
k
c a b a b
a b
a b
=
=
+
+ +
=
"
∑
2
1
3 7
4 1
A
−
=
−
( )
4 0
3
5 2 1
B
−
=
)
( –5
13
2
7
20
7
23 14 2
et
20 8
21
2 13
AB
BA
−
−
= −
−
−
=
.
−
−
( )
)
(
–
–
1
1
1 1
(
)
(
)
n
n n
n
y
x … x
x y
x y
y
, ,
=
+ +
.
#
"
( )
11
11
11 11
diag (
) diag (
) diag (
)
nn
nn
nn nn
a … a
b … b
a b … a b
, ,
×
, ,
=
, ,
.
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
A A B A B A B A B B
AB AB
+
=
+
,
+
=
+