4.2 • Matrices
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On dit que la matrice est de format (n, m). L’ensemble des matrices
de ce même format se note M nm .
• Matrices particulières
➤ Une matrice est nulle si tous ses coefficients sont nuls.
➤ Une matrice est carrée si elle a autant de lignes que de colonnes.
➤ Une matrice carrée est diagonale si les éléments qui sont en dehors
de la diagonale principale sont nuls :
si
.
Pour simplifier, on la note :
.
➤ Une matrice carrée est triangulaire supérieure (respectivement
inférieure) si les éléments qui sont en dessous (respectivement audessus) de la diagonale principale sont nuls :
si i < j (respectivement i > j).
➤ Une matrice colonne possède une seule colonne (m = 1) et une
matrice ligne possède une seule ligne (n = 1).
• Représentation d’un vecteur dans une base
Soit E un espace vectoriel de dimension n et
une base.
Pour tout vecteur x de E, il existe n scalaires uniques
tels que
.
On appelle représentation matricielle du vecteur x dans la base v, la
matrice colonne
Nous verrons plus loin comment sont reliées deux représentations
matricielles d’un même vecteur par rapport à deux bases.
4.2.2 Opérations sur les matrices
• Transposition d’une matrice
➤ Définition
On appelle transposée d’une matrice A la matrice, notée
t A, et obtenue à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes.
Ainsi, si la matrice A a m lignes et n colonnes, la matrice
t A a n
lignes et m colonnes.
0
ij
a =
i j
≠
11
diag (
)
nn
a … a
, ,
0
ij
a =
1
(
)
n
v v … v
= , ,
1
n
x … x
, ,
1 1
n n
x x v
x v
=
+ +
"
1
n
x
X
x
=
.
#
( )