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Chapitre 4 • Fondements du calcul matriciel
4.1.3 Bases d’un espace vectoriel, dimension
• Combinaisons linéaires
On appelle combinaison linéaire des vecteurs
de l’espace
vectoriel E tout vecteur de E de la forme
, où
sont des scalaires.
On note
l’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires de la famille
. C’est un sous-espace vectoriel de E.
• Bases d’un espace vectoriel
➤ Une famille de vecteurs
est une base de l’espace
vectoriel E si tout vecteur de E s’écrit de façon unique comme
combinaison linéaire de cette famille.
➤ Par exemple, la famille de vecteurs
,
et
forme une base de R
3 . On l’appelle base canonique
de R
3 .
• Dimension d’un espace vectoriel
➤ Si
est une base de l’espace vectoriel E, l’entier
naturel p est appelé dimension de E.
Par convention, l’espace vectoriel {0} a pour dimension 0.
➤ Par exemple, R
n est de dimension n ; les solutions d’une équation
différentielle homogène du second ordre dont le coefficient de
ne s’annule pas sur un intervalle I forment un espace vectoriel de
dimension 2.
4.2 MATRICES
4.2.1 Généralités
• Définition
Une matrice à n lignes et m colonnes est un tableau
dont les éléments (ou coefficients) sont des nombres. Dans la notation
du coefficient a ij , le premier indice est le numéro de la ligne et le
deuxième indice, celui de la colonne.
1
p
v … v
, ,
1 1
p p
v
v
λ
λ
+ +
"
1
p
…
λ
λ
, ,
1
Vect (
)
p
v … v
, ,
1
(
)
p
v … v
, ,
1 2
(
)
p
v v … v
, , ,
1
(1 0 0)
e = , ,
2
(0 1 0)
e = , ,
3
(0 0 1)
e = , ,
1 2
(
)
p
v v … v
, , ,
y′′
11
1
1
m
n
n m
a
… a
A
a
… a
= #
#
( )