4.1 • Espaces vectoriels usuels
75
• Exemples fondamentaux
➤ Dans R
2
, un vecteur est un couple et dans R
3 , un vecteur est un
triplet. De manière générale, dans le cas de R
n
, un vecteur est un nuplet et les opérations définies sur cet ensemble sont :
En biologie, plusieurs situations peuvent être modélisées par des
vecteurs de R
n
. Ainsi :
– Lorsque l’on veut suivre les variations de la population d’une
espèce (ours, hannetons, …), on décompose cette dernière en 2,
3, …, ou n classes d’âge qui définissent alors, un couple, un triplet
et de manière générale, un n-uplet.
– Les molécules évoluent dans un espace de dimension trois et pour
repérer ses atomes, on utilise les trois coordonnées de l’espace.
– Selon les études ou relevés statistiques dans des enquêtes, nous
manipulons des vecteurs avec autant de composantes que de paramètres quantifiés.
➤ L’ensemble F (I, R) des fonctions définies sur un même intervalle I
et à valeurs dans R, muni des opérations usuelles f + g et λf.
Les fonctions considérées comme vecteurs se rencontrent souvent
dans la résolution des équations et systèmes différentiels.
4.1.2 Sous-espaces vectoriels
• Définition
Soit E un espace vectoriel ; une partie non vide F de E est un sousespace vectoriel si elle vérifie la propriété suivante :
alors
• Premiers exemples
➤ Dans tout espace vectoriel E, {0} et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
➤ Dans R
2 , la droite
est un sousespace vectoriel alors que la droite
ne
l’est pas.
➤ Dans R
2 , une parabole ne peut pas définir un sous-espace vectoriel.
1
1
1
1
1
1
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
x … x
y … y
x y … x y
x … x
x … x
λ
λ
λ
, ,
+ , ,
=
+ , , + ,
, ,
=
, ,
.
u v F
K
λ µ
∀ , ∈
∀ , ∈
u
v F
λ µ
+ ∈ .
2
{( )
2 3
0}
x y
x y
, ∈ ;
− =
\
2
{( )
2 3 1}
x y
x y
, ∈ ; − =
\