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Chapitre 3 • Suites réelles
Le rapport des longueurs Φ est aussi appelé « divine proportion » et
se retrouve dans de nombreuses constructions architecturales.
• On a
Donc
3.7 Au premier mois, il y a naissance du couple fondateur ; le
nombre de couples est donc 1.
Au deuxième mois, le couple fondateur n’est pas encore adulte ; le
nombre de couples est donc 1.
Au troisième mois, on a le couple fondateur et le premier couple de
descendants ; le nombre de couples est donc 2.
Au quatrième mois, on a les mêmes et le deuxième couple de descendants du couple fondateur ; le nombre de couples est donc 3.
Au cinquième mois, on a les mêmes, le troisième couple de descendants du couple fondateur et le premier couple de descendants issus
du couple né le troisième mois ; le nombre de couples est donc 5.
On retrouve ainsi la série de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233 ... Au bout de douze mois, il y aura 144 couples.
Cet énoncé a été publié en 1202 par Fibonacci.
3.8 1. • Lorsque l’effectif u n de la population est très inférieur à la
capacité limite K, le rapport
devient négligeable. Il en résulte que
la variation devient
. Cela revient à une croissance
exponentielle et signifie que a est la différence : natalité – mortalité.
• Lorsque l’effectif de la population est très voisin de K, la quantité
devient proche de 0. Il en résulte que u n+1 – u n devient proche
de 0 ; et donc que la population est stabilisée à un effectif de K.
2. • Si u n est double de K, la variation u n+1 – u n devient égale à –au n . Si
le facteur a est peu différent de 1, la population disparaît à la génération suivante.
• Si u n = 1,5K, la variation u n+1 – u n devient égale à
Si a est peu différent de 1, l’effectif de la population est divisé par 2.
Si a est peu différent de 2, la population disparaît.
+
+
+
+
=
=
×
⋅
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
u
u
u
w
u
u
u
→+∞
+
+
= Φ =
=
= + Φ.
2
2
1
5
3
5
lim
1
2
2
n
n
w
( )
n
u
K
+ − =
1
n
n
n
u
u au
−
1
n
u
K
−
⋅
2
n
u
a