Solutions
69
Son équation caractéristique r 2 – r – 1 = 0 a deux racines réelles
distinctes
Toute suite (u n ) vérifiant la relation de récurrence
est donc de la forme
.
Les conditions initiales permettent de calculer K 1 et K 2 :
La suite (u n ) est donc définie par :
Comme
on a
Comme
on a
On obtient donc
.
D’après ce qui précède, on a :
Comme
, on a donc :
Cette valeur est un nombre irrationnel, noté Φ (lire phi) par référence
au sculpteur et architecte grec Phidias, encore appelé nombre d’or.
−
+
=
=
⋅
1
2
1 5
1
5
et
2
2
r
r
+
+
∀ ∈
−
− =
2
1
0
n
n
n
n
u
u
u
`
=
+
1 1
2 2
n
n
n
u K r K r
−
+
=
=
−
= = +
⇔
= =
+
−
−
=
=
−
1
1
2
1
0
1
2
1
1 1
2 2
2
2
2
1
1
5
5
10
1
1
1 5
5
10
r
K
r r
u
K K
u
Kr Kr
r
K
r r
{
⇔
{
+
−
−
+
∀ ∈
=
+
5
5 1 5
5
5 1
5
10
2
10
2
n
n
n
n
u
`
( )
)
(
−
≈ − , < ,
1 5
0 6 1
2
→∞
−
= .
1 5
lim
0
2
n
n
( )
−
≈ , > ,
1 5 1 6 1
2
+
→∞
+
= +∞.
1
5
lim
2
n
n
)
(
→∞
= +∞
lim n
n
u
+
+
+
+
=
=
⋅
+
1
1
1
1 1
2 2
1 1
2 2
n
n
n
n
n
n
n
u
K r
K r
v
u
Kr K r
→+∞
=
1
lim
0
n
n
r
→+∞
+
= =
⋅
2
1
5
lim
2
n
n
v r