68
Chapitre 3 • Suites réelles
D’après les opérations algébriques sur les suites convergentes, on en
déduit alors :
On remarque que
On a donc
, soit
puisque
.
Attention à ne pas dire que (u n ) est majorée par v n . Un majorant d’une suite doit en
majorer tous les termes.
3.5 1. Pour
on a
, ce qui entraîne pour tout
:
et par conséquent :
Ces inégalités montrent que la suite (I n ) est décroissante et minorée
par 0. Elle est donc convergente.
2. Pour tout
, on a :
Si on pose
, on a
et l’intégrale précédente s’écrit :
On en déduit que
.
Comme (I n+2 ) est une suite extraite de (I n ), on a
, ce
qui permet de conclure :
3.6 • La suite (u n ) est linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
+
=
= =.
1
2
2
1
2
soit
2
l l
l
l l l
+
+
∀ ∈
=
= =
.
1
1
0 0
n
n
n n
n
u v
u v
u v
`
"
=
2
0 0
l u v
= 0 0
l
u v
0
l ജ
π
∈ ,
0
4
x [ ]
∈ ,
tan
[0 1]
x
∈
n `
π
+
∀ ∈ ,
1
0
0 ( t a n )
( t a n )
4
n
n
x
x
x
ഛ
ഛ
]
[
π
π
+
.
4
4
1
0
0
0
(tan ) d
(tan ) d
n
n
x
x
x x
ഛ
ഛ
0
π
4
-- -
∫
0
π
4
-- -
∫
∈
n `
π
π
+
+ + =
+
=
+
.
4
4
2
2
2
0
0
[(tan )
(tan ) ] d
(tan ) (1 tan ) d
n
n
n
n
n
I
I
x
x
x
x
x x
0
π
4
-- -
∫
0
π
4
-- -
∫
=
( ) tan
u x
x
= +
′
2
( ) 1 tan
u x
x
π
π
+
+ + =
=
=
⋅
′
+
+
4
4
1
2
0
0
(tan )
1
[ ( )] ( )d
1
1
n
n
n
n
x
I
I
u x u x x
n
n
]
[
0
π
4
-- -
∫
+
→∞
+
=
2
lim[
] 0
n
n
n
I
I
+
→∞
→∞
=
2
lim
lim
n
n
n
n
I
I
→∞
= .
lim
0
n
n
I