Solutions
67
3.2 Supposons a b. Dans la somme a n + b n , nous allons mettre a n
en facteur, qui est le terme dominant si a > b.
Comme a b, on a
On en déduit :
, puis
3.3 Supposons que la suite (S n ) converge vers l. Alors les deux suites
extraites (S n ) et (S 2n ) convergent vers l et, par conséquent, (S 2n – S n )
converge vers 0. On a :
Chacun des n termes de cette somme est minoré par
On a donc
, ce qui est incompatible avec la convergence
de (S 2n – S n ) vers 0. La suite (S n ) est donc divergente.
Comme (S n ) est croissante, elle tend donc vers .
3.4 Par une récurrence immédiate, on obtient u n > 0 et v n > 0 ; la suite
(v n ) est donc bien définie puisque le dénominateur de u n+1 ne s’annule
pas.
Pour tout
, on calcule :
ce qui prouve que u n v n pour tout n ;
puis
ce qui prouve que (u n ) est croissante ;
puis
ce qui prouve que (v n ) est décroissante.
Comme (u n ) est majorée par v 0 , elle converge vers une limite l 1 .
Comme (v n ) est minorée par u 0 , elle converge vers une limite l 2 .
ജ
=
+
=
+
=
+
+
1
1
1
ln ( )
ln (
)
ln
1
ln
ln 1
n
n
n
n
n
n
b
b
u
a b
a
a
n
n
a
n
a
)
( )
(
[
]
]
[ )
(
ജ
→+∞
+
= .
1
lim ln 1
0
n
n
b
n
a )
( ]
[
→+∞
=
lim ln ( ) ln
n
n
u
a
→+∞
= .
lim n
n
u a
− =
+
+ + ⋅
+
+
2
1
1
1
1
2
2
n
n
S
S
n
n
n
"
⋅
1
2n
−
2
1
2
n
n
S
S ജ
+∞
∈
n `
+
+
+
−
−
=
−
=
+
+
2
1
1
2
(
)
0
2
2 (
)
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
u v
u v
u v
v
u
u v
u v
ജ
ഛ
+
−
− =
+
1
(
) 0
n
n
n
n
n
n
n
u v u
u
u
u v
ജ
+
−
− =
1
0
2
n
n
n
n
u v
v
v
ഛ