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Chapitre 3 • Suites réelles
3.7 Les couples de lapins
Un couple de lapins produit chaque mois un nouveau couple qui ne
devient productif qu’à partir du deuxième mois de son existence.
En supposant une fidélité des couples et pas de mortalité, combien
obtient-on de couples de lapins au bout d’un an en partant d’un couple ?
3.8 Croissance logistique
Soit u n l’effectif d’une population à la génération n. Cette population
suit une croissance logistique si le passage de la génération n à la
génération suivante obéit à une formule du type :
1. Interprétez les constantes a et K lorsque l’effectif est très inférieur
à K, ou au contraire très voisin de K.
2. Qu’arrive-t-il si u n devient double de K ? Même question si
u n = 1,5K ?
3. En partant de u 1 = 100 et en choisissant K = 1000, visualisez et
commentez l’évolution de la population suivant diverses valeurs de a :
4. Avec K = 100 et u 1 = 10, représentez la génération des premières
valeurs de u n en s’appuyant sur la représentation graphique de la fonction f du modèle :
a) avec a = 1,2 ;
b) avec a = 2,8.
SOLUTIONS
3.1 Pour tout p de 1 à n, on a :
ce qui entraîne pour tout n :
Les suites définies par
sont convergentes
et ont la même limite 1.
D’après le théorème d’encadrement, la suite (u n ) est donc convergente
et tend vers 1.
+ =
−
.
1
1
n
n
n
u
u
au
K
( )
= , ;
= , ;
= , ;
= , .
1 2
1 8
2 2
2 8
a
a
a
a
+
+
+
2
2
2
1
n
n
n
n n n p n
ഛ
ഛ
⋅
+
+
2
2
2
2
1
n
n
n
u
n n
n
ഛ ഛ
=
=
+
+
2
2
et
1
1
n
n
n
n
v
w
n
n