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Chapitre 3 • Suites réelles
3.3.2 Forme générale des solutions
• Si ∆ > 0, (E) a deux racines distinctes r 1 et r 2 . Toute suite vérifiant
(1) est alors du type :
Les constantes K 1 et K 2 s’expriment ensuite en fonction de u 0 et u 1 .
• Si ∆ = 0, (E) a une racine double
Toute suite vérifiant (1)
est alors du type :
Les constantes K 1 et K 2 s’expriment ensuite en fonction de u 0 et u 1 .
• Si
, (E) a deux racines complexes conjuguées
et
que l’on écrit sous forme trigonométrique
et
.
Toute suite vérifiant (1) est alors du type :
Les constantes (K 1 et K 2 , ou A et ϕ), s’expriment ensuite en fonction de u 0 et u 1 .
=
+
.
1 1
2 2
n
n
n
u K r K r
= − ⋅
0
2
b
r
a
=
+
.
1
2
0
(
)
n
n
u
K K n r
∆ < 0
α β
= +
1
i
r
α β
= −
2
i
r
θ
ρ
=
i
1
e
r
θ
ρ
−
=
i
2
e
r
ρ
θ
θ ρ
θ ϕ
=
+
=
− .
1
2
( cos
sin )
cos (
)
n
n
n
u
K
n K
n
A
n
Suites arithmétiques et suites
géométriques dans l’histoire
• C’est en cherchant à transformer les suites arithmétiques en suites
géométriques que le baron écossais John Napier, ou Neper, (15501617) invente les logarithmes dits népériens.
Il conseille le mathématicien Henry Briggs pour établir les premières
tables de logarithmes décimaux. Ces tables ont eu un tel succès que
l’astronome Johannes Kepler a dédié un de ses livres à Napier.
• L’anglais Thomas Robert Malthus (1766-1834) a marqué l’histoire
de la pensée économique. En 1798, il développe dans son livre Essai
sur le principe de population sa doctrine connue sous le mot de malthusianisme.
Il pose le principe que la population croît selon une progression géométrique et les ressources selon une progression arithmétique.
Comme une suite géométrique croissante est plus rapide qu’une suite
arithmétique croissante, cela entraînerait un déséquilibre qui conduirait l’humanité vers la famine. Il évoque le rétablissement de
l’équilibre par des moyens destructifs (épidémies, guerres) et préventifs (contrôle des naissances).
La suite de l’histoire n’a pas validé le modèle!