3.3 • Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
63
totalité), mais s’annule lorsqu’une valeur d’équilibre, K, appelée
capacité du milieu, est atteinte. Cet accroissement est positif tant que
la taille de la population est inférieure à la capacité K, négatif si la
population dépasse en nombre la capacité du milieu.
Le modèle le plus simple décrit la situation où le taux de fertilité est
proportionnel à la différence entre la population effective et la population maximale permise par l’habitat K, soit :
·
D’où :
et :
relation qui correspond à la fonction :
·
• Croissance d’une population avec facteur limitant
(modèle discret de Gompertz)
L’idée est la même que dans le modèle logistique ; on cherche ici un
paramètre positif a tel que :
La présence du logarithme exprime l’effet de tassement du taux
d’accroissement
lorsqu’on s’approche de la taille maximale K.
La relation
correspond à la fonction :
3.3 SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D’ORDRE 2
3.3.1 Généralités
Une telle suite est déterminée par une relation du type :
(où
, b,
sont des constantes réelles), et la connaissance des
deux premiers termes u 0 et u 1 .
Pour déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient la
relation (1), on considère l’équation caractéristique :
équation du second degré dont le discriminant est
.
+ −
−
=
1
n
n
n
n
u
u
K u
a
u
K
+ − =
−
,
1
1
n
n
n
n
u
u
u au
K
( )
+ =
+ −
.
1
1
n
n
n
u
u
u
a a
K
(
)
=
+ −
( )
1
ax
f x x
a
K
( )
+ − =
⋅
1
ln
n
n
n
n
K
u
u au
u
u n 1
+
u n
–
u n
---------------------- -
+ =
+
1
1 ln
n
n
n
K
u
u
a
u
( )
=
+
.
( )
1 ln
K
f x x
a
x
( )
+
+
∀ ∈
+
+
=
2
1
(1)
0
n
n
n
n
au
bu
cu
`
≠ 0
a
≠ 0
c
+ + =
2
0
( )
ar br c
E
∆ = −
2
4
b
ac