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Chapitre 3 • Suites réelles
3.2.2 Exemples de modélisation à l’aide de suites
récurrentes
• Déplacement d’un animal à vitesse constante sur une ligne
droite
Si un animal se déplace dans un espace représenté par une droite, et que
la distance parcourue entre deux relevés consécutifs est toujours a, alors :
La fonction f est définie par f(x) = x + a, et les u n sont les termes
d’une suite arithmétique de raison a.
• Marquage d’animaux
On considère une population de N individus et à chaque étape n, on
marque k individus qu’on relâche ensuite. Si l’on désigne par u n le
nombre d’individus marqués jusqu’à l’étape n, ce nombre est approché par la loi :
Nous n’avons pas u n+1 = u n + k car parmi les individus capturés à l’étape n, il peut y en
avoir de déjà marqués.
La fonction associée à cette suite récurrente est définie par :
• Croissance exponentielle d’une population
Considérons une population de bactéries dont l’effectif double tous les
jours. Si u n désigne la taille de la population au jour n, on a u n+1 = 2u n
et f(x) = 2x.
Plus généralement, pour étudier l’accroissement d’une population,
on considère le taux d’accroissement
Dans l’exemple des bactéries, ce taux est constant et égal à 1.
En général, si le taux est constant et égal à a, la suite (u n ) vérifie la
relation de récurrence : u n+1 = (1 + a)u n .
C’est donc une suite géométrique de raison 1 + a.
• Croissance d’une population avec facteur limitant
(modèle discret logistique)
Ici, l’accroissement de la population entre deux relevés est encore
proportionnel à la taille de la population (supposée reproductrice en
+ = + .
1
n
n
u
u a
+
=
;
= +
−
0
1
0
1
n
n
k
u
u
k u
N )
(
= +
−
.
( )
1
k
f x k x
N )
(
u n 1
+
u n
–
u n
---------------------- -