3.2 • Suites récurrentes d’ordre 1
61
On dit aussi que (v n ) est une sous-suite de (u n ).
Par exemple, (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont des suites extraites de la suite (u n ),
les fonctions d’extraction étant respectivement définies par
et
.
• Propriété
Si une suite (u n ) converge vers la limite l, alors toute suite extraite est
aussi convergente et converge vers l.
Cette propriété entraîne que si deux suites extraites de (u n ) ont des
limites distinctes, alors (u n ) ne converge pas.
En revanche, si deux suites extraites d’une suite (u n ) ont la même
limite l, on ne peut en général rien dire de la nature de (u n ) sauf si leurs
valeurs recouvrent tous les u n ; auquel cas, (u n ) converge vers l.
3.2 SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE 1 DU TYPE u n+1 = f(u n )
3.2.1 Généralités
• Définition
Une suite (u n ) est récurrente d’ordre p si la connaissance du terme u n
dépend des p termes précédents.
En particulier, une suite récurrente d’ordre 1 est la donnée du
premier terme u 0 et d’une relation de récurrence u n+1 = f(u n ).
Pour étudier une telle suite, on détermine d’abord un intervalle I
contenant toutes ses valeurs. On considère alors la fonction f de I dans I.
• Limite éventuelle
Si (u n ) converge vers l et si la fonction f est continue en l, alors f(l) = l.
• Cas où la fonction f est croissante
Si f est croissante sur I, alors la suite (u n ) est monotone. Elle est croissante ou décroissante selon les cas où u 0 u 1 ou u 0 u 1 .
• Cas où la fonction f est décroissante
Si f est décroissante sur I, alors les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont
monotones, l’une croissante, l’autre décroissante.
=
( ) 2
h n
n
= +
( ) 2 1
h n
n
ഛ
ജ
Cherchez à étudier si elles sont adjacentes ou non ...
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On dit aussi que (v n ) est une sous-suite de (u n ).
Par exemple, (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont des suites extraites de la suite (u n ),
les fonctions d’extraction étant respectivement définies par
et
.
• Propriété
Si une suite (u n ) converge vers la limite l, alors toute suite extraite est
aussi convergente et converge vers l.
Cette propriété entraîne que si deux suites extraites de (u n ) ont des
limites distinctes, alors (u n ) ne converge pas.
En revanche, si deux suites extraites d’une suite (u n ) ont la même
limite l, on ne peut en général rien dire de la nature de (u n ) sauf si leurs
valeurs recouvrent tous les u n ; auquel cas, (u n ) converge vers l.
3.2 SUITES RÉCURRENTES D’ORDRE 1 DU TYPE u n+1 = f(u n )
3.2.1 Généralités
• Définition
Une suite (u n ) est récurrente d’ordre p si la connaissance du terme u n
dépend des p termes précédents.
En particulier, une suite récurrente d’ordre 1 est la donnée du
premier terme u 0 et d’une relation de récurrence u n+1 = f(u n ).
Pour étudier une telle suite, on détermine d’abord un intervalle I
contenant toutes ses valeurs. On considère alors la fonction f de I dans I.
• Limite éventuelle
Si (u n ) converge vers l et si la fonction f est continue en l, alors f(l) = l.
• Cas où la fonction f est croissante
Si f est croissante sur I, alors la suite (u n ) est monotone. Elle est croissante ou décroissante selon les cas où u 0 u 1 ou u 0 u 1 .
• Cas où la fonction f est décroissante
Si f est décroissante sur I, alors les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont
monotones, l’une croissante, l’autre décroissante.
=
( ) 2
h n
n
= +
( ) 2 1
h n
n
ഛ
ജ
Cherchez à étudier si elles sont adjacentes ou non ...