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Chapitre 3 • Suites réelles
3.1.5 Monotonie et convergence des suites numériques
• Définitions
La suite (u n ) est dite croissante si, pour tout
, on a
et
décroissante si, pour tout
, on a
.
Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.
• Théorème
Une suite croissante et majorée est convergente.
Une suite décroissante et minorée est convergente.
3.1.6 Comparaison des suites convergentes
• Ordre
Soit (u n ) et (v n ) deux suites convergentes telles que u n v n à partir
d’un certain rang ; alors, on a :
Attention, le passage à la limite transforme l’inégalité stricte en inégalité large.
• Théorème d’encadrement
Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites numériques telles que u n w n v n
pour tout n.
Si (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite l, alors la suite (w n )
converge et a pour limite l.
• Suites adjacentes
Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes si :
Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la même limite.
Variante
Si (u n ) croissante, (v n ) décroissante et si u n v n pour tout n, alors ces suites convergent vers des limites l 1 et l 2 qui vérifient l 1 l 2 .
Si de plus l 1 = l 2 , elles sont adjacentes.
3.1.7 Suites extraites
• Définition
Une suite (v n ) est dite extraite d’une suite (u n ) si elle est définie par
où h est une application strictement croissante de N dans N.
∈
n `
+1
n
n
u
u
ജ
∈
n `
+1
n
n
u
u
ഛ
ഛ
→∞
→∞
.
lim
lim
n
n
n
n
u
v
ഛ
ഛ ഛ
→+∞
;
;
−
=.
( ) est croissante ( ) est décroissante lim (
) 0
n
n
n
n
n
u
v
v u
ഛ
ഛ
= ( )
n
hn
v u