Solutions
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Cette fonction est donc solution de l’équation différentielle (CE) si, et
seulement si,
.
L’équation (CE) admet donc pour solution particulière :
2. L’équation (CE) étant linéaire, cherchons la solution générale de
l’équation homogène associée :
Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants. On considère donc l’équation caractéristique :
qui admet deux racines réelles distinctes
et
.
La solution générale de l’équation homogène est donc :
(avec K 1 et K 2 constantes)
et la solution générale de l’équation complète (CE) :
3. Les conditions initiales permettent d’écrire :
ce qui donne successivement :
La loi d’évolution de la concentration du produit (P) est donc :
2.20 1. L’équation différentielle du premier ordre :
λ
µ
=
C
µ
λ
= .
( )
p t
t
λ
µ
+
=
2
2
d [ ]( )
d[ ]( )
d
d
P t
P t
t
t
λ
+ =
2
0
r
r
=
1
0
r
λ
= −
2
r
λ
−
+
1
2 e
t
K K
λ
µ
λ
−
= +
+ .
1
2
[ ]( )
e
t
P t K K
t
µ
λ λ
=
= +
=
=−
+
1
2
2
0 [ ](0)
d[ ]
0
(0)
d
P
K K
P
K
t
{
µ
µ
λ
λ
=
= − ⋅
2
1
2
2
puis
K
K
λ
µ µ
µ
λ λ
λ
−
= −
+
+ .
2
2
[ ]( )
e
t
P t
t
= −
′( )
( )
n
C t
kC t