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Chapitre 2 • Équations différentielles
2.18 1. a) Comme on a
, on en déduit :
La relation liant la densité d’équilibre et l’effort de pêche est donc
linéaire et décroissante.
b) Il y a extinction, théoriquement, avec K = 0, ce qui donne
En fait, on n’observe pas souvent d’extinction pour un tel effort de pêche. Il existe
d’autres modèles dans lesquels la relation entre K et p est une fonction exponentielle décroissante.
2. a) En dérivant l’équation de Verhulst, on a :
La vitesse de renouvellement de la population est maximale quand
cette dérivée est nulle (en étant positive avant et négative après), soit
pour :
C’est donc lorsque l’effectif de la population est égal à la moitié de la
capacité d’accueil K que la vitesse de renouvellement est la plus forte.
b) On se situe au niveau d’effectif optimum pour le renouvellement
de la population, c’est-à-dire à l’instant t 1 tel que
Le stock sera stationnaire pour
si la vitesse de prélèvement est
égale à la vitesse de croissance de la population en l’absence de prélèvement, c’est-à-dire en reportant dans dans la première écriture de
l’équation de Verhulst :
Cette quantité s’appelle MSY (maximum sustainable yield).
En fait, on serait mal avisé de récolter au niveau du MSY, car de faibles fluctuations pourraient entraîner l’extinction.
Il faut en outre éviter que l’exploitation ne porte sur des classes non encore
matures, ce qui pourrait altérer le potentiel de reproduction de l’espèce.
2.19 1. Considérons une fonction de la forme
où C est une
constante. On a alors
et
.
= − =
r n cp bK
−
=
=− + ⋅
n cp
cp n
K
b
b b
= ⋅
n
p
c
= −
−
.
2
2
d
d
2
(
)
1
( )
d
d
N
N
b
n cp
N t
t
t
r
( )
=
= ⋅
( )
2
2
r
K
N t
b
⋅
2
K
1
t t
ജ
=
−
=
⋅
1
d
1
( )
1
d
2
2
4
N
K
K
K
t
r
r
t
K
( )
=
( )
p t Ct
=
′( )
C t C
=
′′( ) 0
C t