Solutions
53
2.17 1. • L’équation différentielle (E) étant linéaire, on considère
d’abord l’équation homogène associée
dont la solution générale est
avec K réel quelconque.
Pour résoudre l’équation proposée, considérons une fonction auxiliaire K(t) telle que
soit solution. On a alors :
puis, en reportant et en simplifiant :
soit
.
La solution générale de (E) est donc :
• En situation expérimentale, on n’a pas une infinité de solutions,
mais une seule obtenue avec une (ou des) condition. Ici, on connaît
. La solution cherchée est donc définie par :
2. Lorsque t tend vers l’infini, on sait que
ce qui
entraîne que x(t) tend vers 0.
Ce résultat est conforme à l’observation : avec le temps, l’effet d’une absorption
unique d’alcool finit par disparaître.
3. Avec a = 4 et x 0 = 2, la fonction s’écrit :
La dérivée
est positive pour
, nulle
pour
, négative pour
. La fonction passe donc par un
maximum pour
, dont la valeur est :
4. Avec a = 1, la fonction s’écrit :
On veut
, ce qui donne la valeur initiale :
= −
′( )
( )
x t
x t
−
=
( )
e
t
x t K
−
=
( )
( )e
t
x t K t
−
−
=
−
′
′
( )
( )e
( )e
t
t
x t K t
K t
=
′( )
K t a
= +
( )
K t at K
−
=
+
.
( ) (
)e
t
x t
at K
=
=
0
(0)
x x
K
−
=
+
.
0
( ) (
)e
t
x t
at x
−
→+∞
= ;
lim e
0
t
t
t
−
=
+
.
( ) (4 2)e
t
x t
t
−
= − +
′( ) ( 4 2)e
t
x t
t
< ,
0
0 5
t
ഛ
= ,
0 5
t
> ,
0 5
t
= ,
0 5
t
− ,
, =
≈ , .
0 5
(0 5) 4 e
2 4
x
−
= +
.
0
( ) (
)e
t
x t
t x
−
= , = +
2
0
(2) 0 4 (2
) e
x
x
−
−
= , ×
− ≈ ,
. .
2
1
0
0 4 e
2 0 96 g L
x