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Chapitre 2 • Équations différentielles
2.16 1. Dans la phase de croissance, on a l’équation :
,
à condition que
.
Dans la phase de décroissance, on a l’équation :
,
à condition que
.
2. • L’équation différentielle de la phase de croissance a pour solution
générale
.
L’effectif varie entre la valeur k à l’instant t 0 et la valeur K à l’instant
t 1 . On a donc :
On en déduit :
d’où :
• L’équation différentielle de la phase de décroissance a pour solution
générale
.
L’effectif varie entre la valeur K à l’instant t 1 et la valeur k à l’instant
t 2 . On a donc :
On en déduit :
d’où :
• La durée de temps correspondant à un cycle complet est donc :
=
′( )
( )
x t a x t
( )
x t
K
ഛ
= −
′( )
( )
x t
A x t
( )
K
x t
k
ഛ
ഛ
λ
= 1
( )
e
at
x t
λ
λ
=
=
.
0
1
1
1
e
et
e
at
at
k
K
λ
λ
=
= .
0
1
1
1
ln
et ln
k
K
at
at
(
(
)
)
λ
λ
− =
−
=
.
1
0
1
1
1
1
ln
ln
ln
K
k
K
t t
a
a
k
(
(
( ) ) )
[
]
λ
−
= 2
( )
e
At
x t
λ
λ
−
−
=
=
.
1
2
2
2
e
et
e
At
At
K
k
λ
λ
= −
= − .
1
2
2
2
ln
et ln
K
k
At
At
( )
( )
λ
λ
− = −
−
= −
.
2
1
2
2
1
1
ln
ln
ln
k
K
k
t t
A
A
K
( ) ( ) ( )
]
[
− = − + − =
+
⋅
2
0
2
1
1
0
1 1
(
) (
)
ln
K
t t
t t
t t
a A
k
( (
) )