Solutions
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ce qui donne K = 25 et :
.
1. On demande :
2. On demande t tel que :
.
2.15 1. Dans une pièce où la température ambiante est maintenue à
20 °C, les hypothèses formulées s’écrivent :
et on sait que :
2. Il faut d’abord résoudre l’équation différentielle (E) qui peut
s’écrire :
Elle est linéaire. L’équation homogène associée
a pour solution générale
et il existe une solution particulière constante égale à 20.
La solution générale de (E) est donc :
Les conditions connues donnent :
On cherche t tel que
, soit :
Selon le modèle utilisé, la température du corps atteindra donc 25 °C
au bout de 40 minutes.
−
=
⇐
10
15
1
e
10
ln(0 6)
ln(0 6) 0 051
25
10
k
k
k
⇔
⇔
–
=
–
≈
,
,
,
=
−
=
≈ , .
4
(4) 25e
20 4
k
x
−
,
=
= , ⇐
0 5
( ) 25e
0 5
ln
76 6
25
kt
x t
kt
t
( )
⇔
⇔
–
=
=
,
≈
= −
−
>
′
( )
( )
[ ( ) 20] avec
0
T t
k T t
k
E
=
= .
(0) 100
et
(10) 60
T
T
+
=
.
′( )
( ) 20
T t kT t
k
+
=
′( )
( ) 0
T t kT t
−
=
( )
e
kt
T t K
−
=
+ .
( )
e
20
kt
T t K
−
−
=
=
= +
⇐
=
=
+
=
=
10
10
80
100
(0)
20
1
1
60
(10)
e
20
e
s o i t
l n2
2
1 0
k
k
K
T
K
T
K
k
{
{
⇔
=
( ) 25
T t
−
−
+ = ⇐
10
10
1
80 e
20 25
e
0 0625
ln(0 0625) 40
k
k
t
k
⇔
⇔
,
,
=
=
= –