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Chapitre 2 • Équations différentielles
La solution générale de l’équation différentielle est donc :
2.12 Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficients constants. Son équation caractéristique
admet une racine réelle double r 0 = 3.
La solution générale de l’équation différentielle est donc :
2.13 L’équation du modèle peut s’écrire :
En considérant la nouvelle fonction inconnue
, l’équation devient :
puis, par calcul de primitives :
D’après l’équation différentielle du modèle,
est du signe de
, donc positif puisque la population est croissante. On a donc :
d’où
puis :
2.14 Soit x(t) la quantité de sel (en kg) à l’instant
. Comme le
sel se dissout dans l’eau à une vitesse proportionnelle à sa masse,
on a :
La solution générale de cette équation différentielle est
;
et on a les informations :
=
+
.
1
2
1
2
3
3
( ) e
cos
sin
2
2
t
x t
K
t K
t
( ) ( )
[
]
− + =
2
6 9 0
r
r
=
+
.
3
1
2
( ) (
)e
t
x t
K t K
′ =
=
−
( )
ln
[ln
ln( ( ))]
( )
( )
x t
K
r
r K
xt
x t
x t
( )]
[
=
( ) ln( ( ))
u t
x t
′
=
−
=
′
−
( )
( ) [ln
( )]
soit
ln
( )
u t
u t r K u t
r
K u t
−
−
= + .
ln ln
( )
K u t
rt C
−
ln
( )
K u t
′( )
x t
− +
−
=
(
)
ln
( ) e
rt C
K u t
− +
=
=
−
(
)
ln( ( )) ( ) ln
e
rt C
x t
u t
K
− +
=
.
(
)
( )
exp e
rt C
x t K
[
]
0
t ജ
= −
> .
′( )
( ) avec
0
x t
k x t
k
−
=
( )
e
kt
x t K
−
= =
;
=
= ,
10
(0)
25
(10)
e
15
k
x
K
x
K