Solutions
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s’écrit sur un intervalle ne contenant pas t = 0 :
La fonction
admet pour primitive :
La solution générale de l’équation homogène est donc :
où A = K ou A = –K suivant l’intervalle, est une constante réelle quelconque.
Considérons une fonction auxiliaire K(t) telle que
soit
solution de l’équation complète. On a alors
,
puis en reportant dans l’équation différentielle proposée :
puis
.
La solution générale de l’équation proposée est donc :
2.10 Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficients constants. Son équation caractéristique
admet deux racines réelles distinctes r 1 = 1 et r 2 = 2.
La solution générale de l’équation différentielle est donc :
2.11 Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à
coefficients constants. Son équation caractéristique
admet deux racines complexes conjuguées
et
= −
′
1
( )
( )
x t
x t
t
α = −
1
( )
t
t
γ = −
=
⋅
1
( )
ln
ln
t
t
t
| |
=
=
1
ln
( )
e
t
A
x t K
t
=
1
( )
( )
x t K t
t
=
′
′
( )
( )
x t K t
1
t
-- - − ( )
K t
1
t
2
--=
′
2
( ) 3
K t
t
= +
3
( )
K t t K
= +
∈ .
2
( )
avec
K
x t t
K
t
\
− + =
2
3 2 0
r
r
=
+
.
2
1
2
( )
e
e
t
t
x t K
K
− + =
2
1 0
r r
= +
1
1
3
i
2
2
r
= −
.
2
1
3
i
2
2
r