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Chapitre 2 • Équations différentielles
où K est une constante réelle quelconque. La valeur de K ne peut
s’obtenir qu’avec une information supplémentaire, par exemple la
valeur initiale x(0).
2.7 Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre, linéaire et
homogène. On peut l’écrire sous la forme :
Avec les notations du cours, on a
qui admet pour primitive
La solution générale de l’équation proposée est donc :
où K est une constante réelle quelconque.
2.8 Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre.
L’équation homogène associée :
a pour solution générale :
où K est une constante réelle
quelconque.
Considérons une fonction auxiliaire x(t) telle que
soit
solution de l’équation complète. On a alors
,
puis en reportant dans l’équation différentielle proposée :
soit
puis
.
En intégrant, on obtient :
et en reportant dans x(t), la
solution générale est :
2.9 Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre.
L’équation homogène associée :
=
.
′
+
2
( )
( )
1
t
x t
x t
t
α = +
2
( )
1
t
t
t
( )
γ =
+
=
+ .
2
2
1
( )
ln(1
) ln 1
2
t
t
t
γ
=
=
+
( )
2
( ) e
1
t
x t k
K
t
+
=
′( ) ( ) 0
x t x t
−
=
( )
e
t
x t K
−
=
( )
( )e
t
x t K t
−
−
=
−
′
′
( )
( )e
( )e
t
t
x t K t
K t
−
−
−
−
+
=
′
2
( )e
( )e
( )e
e
t
t
t
t
K t
K t
K t
−
=
′
2
( )e
e
t
t
K t
=
′
3
( ) e
t
K t
=
+
3
1
( )
e
3
t
K t
K
−
=
+
∈
2
1
( )
e
e
avec
.
3
t
t
x t
K
K \
+
=
′( ) ( ) 0
tx t x t