Solutions
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2.5 • Avec deux intégrations par parties
Un premier calcul :
soit
donne :
Un second calcul :
soit
donne :
On obtient en reportant :
et donc :
• Avec l’exponentielle complexe
e
2t cos 3t est la partie réelle de e
(2+3i)t dont une primitive est
. On a donc :
2.6 Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre, à variables séparables, qui peut s’écrire :
En intégrant, on obtient :
=
=
′
2
( ) e
( ) cos3
t
u t
v t
t
=
′
=
2
( ) 2 e
1
( )
sin3
3
t
u t
v t
t
=
−
.
2
2
1
2
( )
e sin3
e sin3 d
3
3
t
t
F t
t
t t
∫
=
=
′
2
( ) e
( ) sin3
t
u t
v t
t
=
′
= −
2
( ) 2 e
1
( )
cos3
3
t
u t
v t
t
= −
+
.
2
2
2
1
2
e sin 3 d
e cos3
e cos3 d
3
3
t
t
t
t t
t
t t
∫
∫
=
+
−
,
2
2
1
2
4
( )
e sin3
e cos3
( )
3
9
9
t
t
F t
t
t
F t
=
+
.
2
2
3
2
( )
e sin3
e cos3
13
13
t
t
F t
t
t
+
+
(2 3i)
1 e
2 3i
t
−
=
+
=
+
.
2
2
2 3i
2
3
( ) Re
e (cos3 isin3 ) e
cos3
sin3
13
13
13
t
t
F t
t
t
t
t
[
]
[
]
′ = .
2
( ) 1
( )
x t
x t
−
= +
=− +
1
1
soit
( )
( )
t K
x t
x t
t K