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Chapitre 2 • Équations différentielles
On a donc :
2.3 Si vous n’avez pas oublié que
est la dérivée de tan t, alors
vous savez qu’une intégration par parties va réussir :
soit
On a donc :
2.4 1. En multipliant les deux membres par x + 1, puis en remplaçant
x par –1, on obtient
En multipliant les deux membres par x – 1, puis en remplaçant x
par 1, on obtient
Donc :
2. Commençons par un calcul formel (comme si on écrivait au
brouillon) :
Retrouvons du sens mathématique :
=
−
=
−
.
3
4
3
4
4
1
1
1
1
ln d
ln
d
ln
4
4
4
1 6
t
t t
t
t
t t
t
t
t
∫
∫
2
1
cos t
=
=
′
2
( )
1
( )
cos
u t t
v t
t
=
′
=
( ) 1
( ) tan
u t
v t
t
=
−
=
−
=
+ |
|.
sin
( ) tan
tan d
tan
d
tan ln cos
cos
t
F t t
t
t t t
t
t t
t
t
t
∫
∫
= − ⋅
1
2
a
= ⋅
1
2
b
= −
+
⋅
−
+
−
2
1
1 1
1 1
1
2
1 2
1
x
x
x
= −
;
= −
= −
=
⋅
−
−
2
2
2
d
d
d
d
d
sin d
sin
sin
1 cos
1
x
u
u
u
u
x x
x
x
x u
=
=−
−
2
d
d
1
sin
1
2
x
u
x
u
∫
∫
∫
+
+
d
1
1 2
u
u
∫ −
d
1
u
u
−
= −
+ +
− =
+
−
=
.
+
1
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
2
2
2
1
1 cos 1
ln
2 cos 1
u
u
u
u
x
x