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Chapitre 2 • Équations différentielles
➤ La réaction de décomposition du complexe (ES) en produit (P) :
où k 3 la constante de vitesse de l’étape.
À partir de ce mécanisme, il est possible de déterminer la fonction qui
donne la concentration en produit (P) en fonction du temps :
.
Cette fonction vérifie l’équation différentielle du second ordre :
où
et
.
Ici, [E] 0 et [S] 0 désignent respectivement les concentrations initiales
en substrat et en enzyme.
1. Trouvez une solution particulière (de la forme
, avec C
constante) de l’équation différentielle (CE).
2. Exprimez la solution générale de l’équation (CE).
3. Sachant les valeurs initiales
et
trouvez la loi d’évolution de la concentration du produit (P).
2.20 Ordre d’une réaction chimique
Dans une réaction chimique, l’évolution de la concentration C(t)
d’une substance, en fonction du temps t, est souvent modélisée par
une équation différentielle :
où k est une constante positive appelée constante de réaction et n est
un entier égal à 0, 1 ou 2 appelé ordre de la réaction.
1. Résolvez cette équation différentielle pour chacune des trois
valeurs de n avec une concentration initiale C 0 pour t = 0.
2. On considère maintenant la réaction d’hydrolyse du saccharose
donnant un mélange de glucose et de fructose en supposant que
l’évolution de la concentration de saccharose est modélisée par une
équation du type précédent.
Pour déterminer l’ordre de cette réaction, on utilise le fait que la solution de saccharose dévie la lumière polarisée à droite et que le
mélange de glucose et de fructose la dévie à gauche.
On mesure la rotation α de la lumière polarisée qui varie d’une valeur
α 0 positive pour t = 0 à une valeur négative quand t tend vers
.
 →
+
3
k
ES
E P
[ ]( )
t
P t
6
λ
µ
+
=
2
2
d [ ]( )
d[ ]( )
( )
d
d
P t
P t
t
t
CE
λ = + +
2
3
1
0
[ ]
k k k S
µ = 1 3 0 0
[ ] [ ]
k k E S
=
( )
p t Ct
=
0
[ ] 0
P
= ,
0
d[ ]( )
0
d
P t
t
[ ]
= −
′( )
( )
n
C t
kC t
α ∞
+∞