Exercices
43
4. On suppose que
. Calculez le taux initial x 0 qui permettrait que
le taux d’alcoolémie redescende à moins de 0,4 g.L
–1 au bout de deux
heures.
2.18 Effort de pêche
On suppose qu’une population N de poissons croît en fonction du
temps t selon l’équation de Verhulst
où K
désigne la quantité de poissons à l’équilibre.
L’effort de pêche est cp où c est une constante, la natalité n et la
mortalité naturelle m.
Le coefficient de variation peut s’écrire :
.
Comme la mortalité naturelle est négligeable par rapport aux pertes
dues à la pêche, le coefficient r peut s’écrire de façon simplifiée
. On notera
. L’équation de Verhulst devient donc :
1. a) Quelle relation y a-t-il entre l’effectif à l’équilibre et l’effort de
pêche ?
b) À partir de quel effort de pêche y a-t-il risque d’extinction ?
2. On a intérêt à effectuer des prélèvements qui permettent la plus
grande vitesse de renouvellement de la population.
a) Quelle est la valeur de N qui maximise
?
b) Quelle est la vitesse de prélèvement qui permet d’obtenir un stock
stationnaire à partir du moment où l’on a atteint la valeur de N de la
question précédente ?
2.19 Catalyse enzymatique
La vitesse de transformation d’un substrat (S) en produit (P) est favorisée par la présence d’une enzyme E qui joue pour des systèmes
biochimiques le rôle de catalyseur. Le mécanisme de la catalyse enzymatique se décompose généralement en deux étapes successives.
➤ La fixation réversible du substrat (S) sur l’enzyme (E) pour former
un complexe (ES) :
où k 1 et k 2 sont les constantes de vitesse des deux réactions élémentaires de cette étape.
= 1
a
=
−
d
()
( ) 1
d
N
Nt
r N t
t
K
( )
= − −
r n m cp
= −
r n cp
b
r
K
--- -
=
= −
−
.
2
d
(
)(
)
d
N
b
n cp N
N
t
r
d
d
N
t
→
+
←
1
2
k
E S
ES
k
43
4. On suppose que
. Calculez le taux initial x 0 qui permettrait que
le taux d’alcoolémie redescende à moins de 0,4 g.L
–1 au bout de deux
heures.
2.18 Effort de pêche
On suppose qu’une population N de poissons croît en fonction du
temps t selon l’équation de Verhulst
où K
désigne la quantité de poissons à l’équilibre.
L’effort de pêche est cp où c est une constante, la natalité n et la
mortalité naturelle m.
Le coefficient de variation peut s’écrire :
.
Comme la mortalité naturelle est négligeable par rapport aux pertes
dues à la pêche, le coefficient r peut s’écrire de façon simplifiée
. On notera
. L’équation de Verhulst devient donc :
1. a) Quelle relation y a-t-il entre l’effectif à l’équilibre et l’effort de
pêche ?
b) À partir de quel effort de pêche y a-t-il risque d’extinction ?
2. On a intérêt à effectuer des prélèvements qui permettent la plus
grande vitesse de renouvellement de la population.
a) Quelle est la valeur de N qui maximise
?
b) Quelle est la vitesse de prélèvement qui permet d’obtenir un stock
stationnaire à partir du moment où l’on a atteint la valeur de N de la
question précédente ?
2.19 Catalyse enzymatique
La vitesse de transformation d’un substrat (S) en produit (P) est favorisée par la présence d’une enzyme E qui joue pour des systèmes
biochimiques le rôle de catalyseur. Le mécanisme de la catalyse enzymatique se décompose généralement en deux étapes successives.
➤ La fixation réversible du substrat (S) sur l’enzyme (E) pour former
un complexe (ES) :
où k 1 et k 2 sont les constantes de vitesse des deux réactions élémentaires de cette étape.
= 1
a
=
−
d
()
( ) 1
d
N
Nt
r N t
t
K
( )
= − −
r n m cp
= −
r n cp
b
r
K
--- -
=
= −
−
.
2
d
(
)(
)
d
N
b
n cp N
N
t
r
d
d
N
t
→
+
←
1
2
k
E S
ES
k