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Chapitre 2 • Équations différentielles
2.15 Vitesse de refroidissement d’un corps
On admet que la vitesse de refroidissement d’un corps est proportionnelle à la différence des températures de ce corps et du milieu
ambiant.
Dans une pièce où la température ambiante est maintenue à 20 °C, un
objet chauffé à 100 °C voit sa température chuter à 60 °C en dix
minutes.
On note T(t) la température (en °C) de l’objet à l’instant t (en min).
1. Établissez l’équation différentielle vérifiée par la fonction T.
2. En combien de temps la température de ce corps atteindra-t-elle
25 °C ?
2.16 Le stress chez les rongeurs
La croissance d’une population de rongeurs se fait avec un taux constant a > 0 tant que l’effectif x(t) est en dessous d’un seuil K.
Lorsque l’effectif atteint la valeur K, les femelles sont en situation de
stress et on observe une décroissance dont le taux –A (avec A > 0) est
proportionnel à l’effectif x(t).
Lorsque l’effectif a décru jusqu’à la valeur k, il n’y a plus de stress et
le processus de croissance initiale se rétablit.
L’effectif oscille donc entre la valeur maximale K et la valeur minimale k.
1. Établissez les équations différentielles des phases de croissance et
de décroissance.
2. Déterminez la période du cycle entre deux moments où l’effectif
est k (de k à K, puis de K à k).
2.17 Évolution du taux d’alcoolémie
On suppose que l’évolution du taux d’alcoolémie (en grammes par
litre de sang) d’une personne qui a absorbé à l’instant t = 0 une quantité x 0 d’alcool peut être modélisée par une fonction
qui dépend du temps t (exprimé en heures) et qui vérifie l’équation
différentielle :
où le paramètre a dépend de la personne.
1. Déterminez la solution générale de cette équation différentielle,
puis la solution qui vérifie
.
2. Que devient le taux x(t) lorsque le temps est suffisamment grand ?
3. On suppose que
et
. Déterminez le taux maximal
d’alcoolémie ainsi que le temps au bout duquel il est atteint.
: ,+∞ →
[0
[
x
\
−
= −
+
′( )
( )
e
( )
t
x t
x t a
E
= 0
(0)
x
x
= 4
a
=
0
2
x
Chapitre 2 • Équations différentielles
2.15 Vitesse de refroidissement d’un corps
On admet que la vitesse de refroidissement d’un corps est proportionnelle à la différence des températures de ce corps et du milieu
ambiant.
Dans une pièce où la température ambiante est maintenue à 20 °C, un
objet chauffé à 100 °C voit sa température chuter à 60 °C en dix
minutes.
On note T(t) la température (en °C) de l’objet à l’instant t (en min).
1. Établissez l’équation différentielle vérifiée par la fonction T.
2. En combien de temps la température de ce corps atteindra-t-elle
25 °C ?
2.16 Le stress chez les rongeurs
La croissance d’une population de rongeurs se fait avec un taux constant a > 0 tant que l’effectif x(t) est en dessous d’un seuil K.
Lorsque l’effectif atteint la valeur K, les femelles sont en situation de
stress et on observe une décroissance dont le taux –A (avec A > 0) est
proportionnel à l’effectif x(t).
Lorsque l’effectif a décru jusqu’à la valeur k, il n’y a plus de stress et
le processus de croissance initiale se rétablit.
L’effectif oscille donc entre la valeur maximale K et la valeur minimale k.
1. Établissez les équations différentielles des phases de croissance et
de décroissance.
2. Déterminez la période du cycle entre deux moments où l’effectif
est k (de k à K, puis de K à k).
2.17 Évolution du taux d’alcoolémie
On suppose que l’évolution du taux d’alcoolémie (en grammes par
litre de sang) d’une personne qui a absorbé à l’instant t = 0 une quantité x 0 d’alcool peut être modélisée par une fonction
qui dépend du temps t (exprimé en heures) et qui vérifie l’équation
différentielle :
où le paramètre a dépend de la personne.
1. Déterminez la solution générale de cette équation différentielle,
puis la solution qui vérifie
.
2. Que devient le taux x(t) lorsque le temps est suffisamment grand ?
3. On suppose que
et
. Déterminez le taux maximal
d’alcoolémie ainsi que le temps au bout duquel il est atteint.
: ,+∞ →
[0
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x
\
−
= −
+
′( )
( )
e
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t
x t
x t a
E
= 0
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x
x
= 4
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0
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