Exercices
41
EXERCICES
2.1 Calculez
et
2.2 Calculez
.
2.3 Calculez
dt.
2.4 1. Déterminez les réels a et b tels que :
2. Utilisez le changement de variable
pour calculer
2.5 Calculez
2.6 Résolvez l’équation différentielle
.
2.7 Résolvez l’équation différentielle
.
2.8 Résolvez l’équation différentielle
.
2.9 Résolvez l’équation différentielle
sur un intervalle ne contenant pas 0.
2.10 Résolvez l’équation différentielle
.
2.11 Résolvez l’équation différentielle
.
2.12 Résolvez l’équation différentielle
.
2.13 Modèle continu de Gompertz
Résolvez l’équation différentielle du modèle continu de Gompertz :
2.14 Le sel a dissout (c’est pas cher)
Le sel se dissout dans l’eau en ions Na
+ et Cl
– à une vitesse proportionnelle à sa masse. S’il y avait au départ 25 kg de sel et s’il en restait
15 kg après 10 h :
1. Combien en reste-t-il après 4 h ?
2. Au bout de combien d’heures ne reste-t-il plus que 0,5 kg ?
+
=
+ +
2 2
1 2
( )
d
(1
)
t
F t
t
t t
∫
+
=
.
+
2
( )
d
1
t
G t
t
t
∫
3 ln d
t
t t
∫
=
2
( )
cos
t
F t
t
∫
∀ ∈
− ,
=
+
⋅
−
+
−
5
2
1
{ 1 1}
1
1
1
a
b
x
x
x
x
\
= cos
u
x
⋅
d
sin
x
x
∫
=
.
2
( )
e cos3 d
t
F t
t t
∫
=
′
2
( )
( )
x t x t
+
−
=
′
2
(1
) ( )
( ) 0
t x t tx t
+
=
′
2
( ) ( )
t
x t x t e
+
=
′
2
( ) ( ) 3
tx t x t
t
−
+
=
′′
′
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0
x t
x t
x t
−
+
=
′′
′
( )
( ) ( ) 0
x t x t x t
−
+
=
′′
′
( ) 6 ( ) 9 ( ) 0
x t
x t
x t
=
.
′ ( )
( )ln
( )
K
x t r x t
x t
( )