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Chapitre 2 • Équations différentielles
• Si
, les racines
et
sont complexes et
conjuguées. La solution générale de (E h ) est de la forme :
MOTS CLÉS
➤ Primitive
➤ Équation différentielle
➤ Modèle continu de Verhulst
➤ Modèle continu de Gompertz
∆ < 0
α β
= +
1
i
r
α β
= −
2
i
r
α
β
β
=
+
1
2
( ) e [ cos( )
sin( )]
t
x t
K
t K
t
Obtenir une équation différentielle
à partir d’observations
Les équations différentielles apparaissent souvent lorsqu’on cherche un modèle mathématique rendant compte d’un phénomène
expérimental qui varie dans le temps ou dans l’espace.
Si la variable est le temps mesuré (ou pensé) de façon continue, la
dérivée première est une vitesse et la dérivée seconde une accélération. Mais en biologie, seule la vitesse est accessible et on part souvent d’une relation entre la quantité mesurée et sa vitesse
d’évolution, ce qui permet d’écrire une équation différentielle.
Si le temps est mesuré à intervalles de temps réguliers, on modélise
alors la quantité étudiée par une suite (u n ) qui dépend du temps n
(cf. chap. 3). On a alors une relation entre les valeurs successives de
la suite, ce qui est analogue à une équation différentielle.
Une telle démarche repose sur des réflexions préalables : on
dégage les paramètres et les inconnues significatifs, on justifie les
approximations et les hypothèses simplificatrices faites et on délimite avec soin le cadre précis de validité du modèle.
Évidemment, les résultats fournis par le modèle mathématique doivent être confrontés aux mesures expérimentales pour valider la
démarche.
Un modèle mathématique ne peut que décrire de manière approchée les phénomènes expérimentaux. Son domaine de validité doit
être précisé avec soin. Plusieurs modèles peuvent exister pour
décrire un même phénomène : ainsi la dynamique newtonnienne
décrit correctement les phénomènes mécaniques à l’échelle de la
Terre, mais se révèle très insuffisante à l’échelle de l’Univers.
U
S
B