2.4 • Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
39
la détérioration ; l’autre, une détérioration, ou une inaptitude
croissante à résister à la destruction ».
Le modèle de Gompertz est maintenant utilisé dans de nombreux
domaines. Il sert à décrire la croissance d’organes, des ailes
d’oiseaux, des tumeurs cancéreuses...
2.4 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND
ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS
2.4.1 Théorèmes généraux
• Définition
Les équations linéaires du second ordre à coefficients constants sont
de la forme :
où a, b et c sont des constantes et
.
Elles sont homogènes (ou sans second membre) si
.
• Théorème (principe de superposition)
La solution générale de l’équation différentielle (E) est somme d’une
de ses solutions particulières et de la solution générale de l’équation
différentielle homogène associée.
2.4.2 Résolution de l’équation homogène
La fonction
(avec
) est solution de :
si, et seulement si, r vérifie l’équation caractéristique :
Les racines r 1 et r 2 de cette équation du second degré dépendent du
signe du discriminant
.
• Si
, les racines sont réelles et distinctes. La solution générale
de (E h ) est de la forme :
• Si
, la racine r 0 est double. La solution générale de (E h ) est de
la forme :
+
+
=
′′
′
( )
( )
( )
( )
( )
a x t b x t c x t
f t
E
≠ 0
a
=
( ) 0
f t
=
( ) e
rt
x t
∈
r ^
+
+
=
′′
′
( )
( )
( ) 0
( )
a x t b x t c x t
h
E
+ + =
2
0
ar br c
∆ = −
2
4
b
ac
∆ > 0
=
+
.
1
2
1
2
( )
e
e
r t
r t
x t K
K
∆ = 0
=
+
.
0
1
2
( ) (
)e
r t
x t
K t K