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Chapitre 2 • Équations différentielles
• Modèle continu de Gompertz
Au départ, Gompertz (1779-1865) a introduit son modèle pour
améliorer celui de Malthus en démographie.
Reprenant le schéma général de la loi d’évolution d’une
population :
il a considéré la fonction n, constante (comme dans le modèle de
Verhulst) et m, une fonction logarithmique :
où r et k sont des constantes positives.
Sa solution générale est
où C est la constante
d’intégration.
Pour expliquer sa démarche, il écrivait en 1825 : « Il est possible
que la mort soit la conséquence de deux causes qui généralement
coexistent ; l’une, le hasard, sans disposition préalable à la mort ou à
Figure 2.1
=
−
,
′( )
( ( ))
( ( )) ( )
x t n x t
m x t x t
=
−
=
d ( )
( )[ln
ln( ( ))]
( ) ln
d
( )
x t
K
r x t
K
x t
r x t
t
x t
− −
=
−
( )
exp[ e
]
rt C
x t K