2.3 • Équations différentielles du premier ordre
37
Il reste alors à préciser la constante λ apparue dans la résolution
mathématique, en connaissant la quantité initiale
de bactéries, soit
• Modèle continu de Verhulst
C’est l’un des premiers modèles qui décrit l’évolution d’une population (bactéries, animaux...). La version simplifiée de ce modèle
consiste à considérer les taux de natalité, n, et de mortalité, m, constants.
En notant x(t) le nombre d’individus de la population considérée, à
l’instant t, le modèle est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 :
dont la solution générale est :
.
La prolifération, la constance ou l’extinction de la population
dépendent du signe positif, nul ou négatif de la quantité n – m.
En fait, ce modèle est un cas particulier d’un modèle plus général
où les taux de natalité et de mortalité dépendent de l’effectif de la
population x(t) à l’instant t :
Pierre-François Verhulst (1804-1849) a étudié particulièrement les
cas où la fonction n est constante (
) et la fonction
de la forme :
avec
. Lorsque
, on obtient
l’équation logistique :
dont la solution générale est :
où
Nous remarquons alors, qu’en fonction de la condition initiale x(0)
(supérieure, égale ou inférieure au rapport k), la fonction décroît, est
constante ou croît.
Dans tous les cas, elle se rapproche de la position stable x = K.
=
0
(0)
x x
λ = − ⋅
0
2
bc
x
a
=
−
= −
.
′( )
( )
( ) (
) ( )
x t n x t m x t
n m x t
−
=
(
)
( )
(0)e
n m t
x t x
=
−
.
′( ) [ ( ( ))
( ( ))] ( )
x t
n x t
m x t x t
=
( )
n x a
( )
x m x
6
=
( )
p
m x b x
= , ,
1 2
p
…
= 1
p
= −
′( ) (
( )) ( )
x t
a b x t x t
−
=
+ −
(0)
( )
(0) (
(0)) e
at
Kx
x t
x
K x
= ⋅
a
K
b