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Chapitre 2 • Équations différentielles
• Résolution de l’équation homogène
On note γ une primitive de α et K une constante quelconque.
La solution générale de l’équation homogène
est :
• Résolution de l’équation complète
Après avoir résolu l’équation homogène associée, considérons une
fonction auxiliaire K(t) telle que
soit solution de (E).
En calculant
, en reportant dans l’équation x(t) et
, et en
simplifiant, il reste :
.
On en déduit K(t) par primitive, puis x(t) en reportant dans la forme
de départ.
Remarque
Mettre la constante d’intégration dans le calcul de primitive ci-dessus revient à
additionner la solution de l’équation homogène associée. Inutile de faire les deux
opérations.
2.3.3 Exemples d’application
• Évolution d’une population de bactéries
On considère une population de bactéries et on désigne par x(t) son
effectif à l’instant t.
Lorsqu’elle est isolée, et en milieu nutritif suffisant, cette population
a un taux de croissance constant égal à
, c’est-à-dire que sa vitesse
de croissance est proportionnelle à l’effectif avec le coefficient a.
La présence d’une toxine, en quantité notée y(t), diminue la vitesse
de croissance de la population, de façon proportionnelle à la quantité
de toxine, avec un coefficient
.
L’évolution de l’effectif des bactéries est donc régie par l’équation
différentielle :
Si l’introduction de la toxine se fait à vitesse constante c, à partir de
, on a
. Vous pouvez alors résoudre l’équation différentielle.
La solution générale est
α
=
′( )
( ) ( )
x t
t x t
γ
=
.
( )
( )
e
t
x t K
γ
=
( )
( )
( )e
t
x t K t
′( )
x t
′( )
x t
γ
β
−
=
′
( )
( )
( )e
t
K t
t
> 0
a
> 0
b
=
−
.
′( )
( )
( )
x t a x t b y t
= 0
t
=
( )
y t c t
λ
=
+
+ .
1
( )
e
at
bc
x t
t
a a
( )