2.3 • Équations différentielles du premier ordre
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On appelle solution de l’équation différentielle (E), toute fonction
x, n fois dérivable sur un intervalle ouvert I et qui vérifie, sur I, la relation (E).
Résoudre (E) dans I, c’est rechercher l’ensemble de ses solutions
dans I.
La courbe représentant une solution de (E) est aussi appelée courbe
intégrale de (E).
On appelle problème de Cauchy la donnée d’une équation différentielle et de conditions imposées.
2.3 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE
2.3.1 Équations à variables séparables
Elles sont de la forme :
où f et g sont des fonctions données dont on connaît des primitives F
et G. La solution x d’une telle équation vérifie l’égalité :
On peut l’expliciter si G admet une fonction réciproque.
2.3.2 Équations linéaires du premier ordre
• Définition
Les équations linéaires du premier ordre sont de la forme :
Elles sont homogènes (ou sans second membre) si c(t) = 0. En
supposant que a(t) ne s’annule pas sur I, on peut les réécrire sous la
forme :
où α et β sont des fonctions continues sur I.
• Théorème (principe de superposition)
La solution générale de l’équation différentielle (E) est somme d’une
de ses solutions particulières et de la solution générale de l’équation
différentielle homogène associée
.
=
′
( ( )) ( )
( )
g x t x t
f t
=
+ .
( ( ))
( )
G x t
F t C
+
=
′
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a t x t b t x t c t
α
β
=
+
′( )
( ) ( ) ( )
( )
x t
t x t
t
E
α
=
′( )
( ) ( )
x t
t x t