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Chapitre 2 • Équations différentielles
2.1.2 Intégration par parties
• Théorème
u et v étant des fonctions continûment dérivables, on a :
• Cas classiques d’utilisation
P étant un polynôme et
,
➤ pour
, on pose
et
;
➤ pour
, on pose
et
;
➤ pour
, on pose
et
;
➤ pour
, on pose
et
.
➤ pour calculer
ou
, on peut faire deux
intégrations par parties « sans changer d’avis », c’est-à-dire en
posant les deux fois
, ou les deux fois
ou
.
Mais il est plus rapide d’utiliser l’exponentielle complexe :
2.1.3 Intégration par changement de variable
Soit u une fonction admettant une dérivée continue. Alors :
2.2 GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
On appelle équation différentielle d’ordre n (
), toute relation du
type :
R
qui relie une fonction (inconnue) x dépendant de la variable t, et ses
dérivées successives
.
=
−
.
′
′
( ) ( ) d
( ) ( )
( ) ( ) d
u t v t t u t v t
u t v t t
∫
∫
α ≠ 0
α β
+
( )sin(
) d
P t
t
t
∫
=
( )
( )
v t P t
=
′( )
u t
α β
+
sin (
)
t
α β
+
( )cos(
) d
P t
t
t
∫
=
( )
( )
v t P t
=
′( )
u t
α β
+
cos (
)
t
α β
+
( )e
d
t
P t
t
∫
=
( )
( )
v t P t
α β
+
=
′( ) e
t
u t
( )ln d
P t t t
∫
=
( ) ln
v t
t
=
′( )
( )
u t P t
α
β
= e cos
t
I
t
∫
α
β
= e sin
t
J
t
∫
α
=
( ) e
t
v t
β
=
( ) cos
v t
t
β
sin t
α β
α β
α β
+
+
=
=
=
+
( i )
( i )
e
Re e
d
Re
i
t
t
I
t
"
∫
(
(
)
)
=
.
′
( ( )) ( )d
( )d
f u t u t t
f u u
∫
∫
∈
n `
,
,
, ,
=
′
( )
( ( ) ( )
( )) 0 ( )
n
t x t x t … x t
E
, , ,
′ ′′
( )
n
x x … x