Solutions
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La droite d’équation y = x –2 est donc asymptote à C lorsque x tend
vers
et lorsque x tend vers
.
Le signe de
donne la position :
– la courbe est au-dessous de l’asymptote lorsque x tend vers –∞ ;
– la courbe est au-dessus de l’asymptote lorsque x tend vers +∞.
1.8 • Lorsque t tend vers –∞ ou vers +∞, on a :
Dans les deux cas, la droite x = 1 est asymptote à la courbe.
• Lorsque t tend vers 3, on a :
Dans ce cas, la droite
est asymptote à la courbe.
• Lorsque t tend vers –3, x(t) et y(t) tendent vers l’infini et l’on a :
puis, de
on déduit :
Dans ce cas, la droite
est asymptote à la courbe.
1.9 La fonction du modèle a pour dérivée :
→±∞
→±∞
→±∞
− −
−
− =
=
= −
+
2 1
2
lim [ ( ) ] lim
lim
2
1
x
x
x
x
x
f x x
x
x
−∞
+∞
− − = +
1
( ) ( 2)
1
f x
x
x
Avec
on obtient directement toute l’étude précédente.
− −
+
− +
=
=
= − +
+
+
+
2
1 ( 1)( 2) 1
1
( )
2
1
1
1
x x
x
x
f x
x
x
x
x
→±∞
→±∞
→±∞
=
=
= ± ∞ .
lim ( ) 1 et lim ( ) lim
t
t
t
x t
y t
t
→
→
= ±∞
= ⋅
3
3
5
lim ( )
et lim ( )
2
t
t
x t
y t
=
5
2
y
→−
→−
→−
+
−
+
+
−
=
×
=
=−.
+
2
3
3
3
( )
( 2) ( 3)( 3)
( 2)( 3)
lim
lim
lim
2
( )
3
t
t
t
y t
t t
t
t
t
t
x t
t
t
t
+
−
+
=
+
=
+
−
+
−
2
( 2)
2
( 2)
( ) 2 ( )
3
( 3)( 3)
3
t t
t
t t
y t
x t
t
t
t
t
→−
+
=−
3
5
lim[ ( ) 2 ( )]
2
t
y t
x t
= − −
5
2
2
y
x
= − ,
+ ,
.
′( )
0 00216 1 145
y x
x