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3. De la formule de trigonométrie
on déduit :
d’où :
Vous pouvez retenir les résultats des deux dernières questions.
1.3 Dire que la fonction définie par
est dérivable en 0,
c’est dire que la limite
existe.
Distinguons deux cas : x < 0 et x > 0.
Comme les limites à gauche et à droite sont différentes, la limite
n’existe pas et la fonction n’est pas dérivable en 0.
1.4 La fonction f est définie et dérivable sur
et on a :
Sachant que la fonction exponentielle est strictement croissante, le
signe de (x) se précise par les équivalences logiques :
Le tableau de variation de f est donc :
Les informations sur f peuvent se compléter par :
1.5 La fonction f est croissante si on a toujours :
Cette condition exige α ≥ 0, et il n’y a aucune condition sur β.
1.6 On peut calculer les dérivées de proche en proche. Mais il faut
discuter suivant les valeurs de
car, en dérivant x
m , on ne peut
pas obtenir une puissance négative.
x
0
e
–1
+∞
f’(x)
–
0
+
f(x)
P
N
−
=
2
1 cos
2sin ( )
2
x
x
( )
−
=
2
2
2
2
2
2sin ( )
1 cos
4( )
x
x
x
x
→
−
= ⋅
2
0
1 cos
1
lim
2
x
x
x
=
( )
f x | |
x
→
−
−
0
( )
(0)
lim
0
x
f x f
x
−
−
+
+
→
→
→
→
−
=
=− ;
=
= .
0
0
0
0
( )
( )
lim
lim
1
lim
lim
1
x
x
x
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
; +∞
]0
[
=
+ × = +
.
′
1
( ) ln
1 ln
f x
x x
x
x
′
f
−
> ⇐
′
1
( ) 0
ln
1
e
f x
x
x
⇔
⇔
–
>
<
+
−
−
→
=
;
= − ≈ − ,
;
=
;
1
1
0
lim ( ) 0
(e )
e
0 37
(1) 0
x
f x
f
f
→+∞
lim
x
= +∞.
( )
f x
α
=
+
.
′
2
( ) 3
0
f x
x
ജ
∈
m
∗
`