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Chapitre 1 • Fonctions d’une variable réelle
1.16 Courbes paramétrées et Ammonites
On considère la courbe paramétrée définie par :
1. Tracez l’arc de courbe correspondant à
dans les cas
particuliers b = 1, b = 2 et b = 5.
Dans le cas général, pour quelles valeurs de t a-t-on
? Calculez
les distances à l’origine selon l’axe des abscisses pour chacun des
demi-tours.
2. En partant du nouveau système d’équations :
reprenez les mêmes questions dans le cas général, après avoir effectué
le tracé dans le cas particulier a = 2 et b = 0,5.
3. Chez de nombreuses Ammonites, le rapport entre les diamètres
opposés successifs est relativement constant. Parmi les deux systèmes
d’équations étudiés dans les questions précédentes, quel est le modèle
qui permet la meilleure approximation de cette propriété ?
SOLUTIONS
1.1 Le trinôme
a deux racines réelles
distinctes. Comme le coefficient de x
2 est positif, il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines. En distinguant deux cas,
on peut donc expliciter l’écriture de
.
Si
, on a :
.
Si
, on a :
.
1.2 On peut obtenir les trois limites demandées avec la seule information
1. On a :
d’où :
.
2. On a :
et cos 0 = 1; d’où :
.
=
=
( )
sin
( )
cos
b
b
x t
t
t
y t
t
t
{
π
∈ ,
[0 2 ]
t
= 0
y
=
=
( )
sin
( )
cos
bt
bt
x t
a
t
y t
a
t
{
− − = +
−
2
2 ( 1)( 2)
x x
x
x
=
− −
2
( )
2
f x
x x
∈ − ∞,− ∪ ,+∞
]
1] [2
[
x
= − −
2
( )
2
f x x x
∈ − ,
[ 1 2]
x
= − + +
2
( )
2
f x
x x
→
= .
0
sin
lim
1
u
u
u
=
×
sin 2
sin 2
2
3
2
3
x
x
x
x
→
=
0
sin 2
2
lim
3
3
x
x
x
=
×
tan
sin
1
cos
x
x
x
x
x
→
=
0
tan
lim
1
x
x
x