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Chapitre 1 • Fonctions d’une variable réelle
1.7 Soit f la fonction définie sur
{–1} par :
1. Étudiez l’existence et la nature des extrémums de f.
2. Étudiez les branches infinies de f.
1.8 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la
courbe :
Étudier les branches infinies de cette courbe.
1.9 Amplitude d’habitat
On a mesuré l’amplitude d’habitat y (c’est-à-dire la variation d’altitude que peut supporter une espèce), ainsi que l’altitude moyenne (x
en m) pour des espèces de reptiles dans une zone de moyenne montagne (de 150 m à 950 m).
À partir des résultats observés pour 16 espèces, on a obtenu la courbe
d’ajustement polynomial d’ordre 2 :
Comme le coefficient de détermination
est assez voisin de
1, ce modèle est acceptable.
Quelle est l’altitude moyenne d’une espèce dont l’amplitude d’habitat
est maximale ?
1.10 Mort d’un insecte
L’injection de spores bactériennes dans le corps d’un insecte entraîne
une mortalité dont le pourcentage augmente en fonction du temps
écoulé.
1. Pour une expérience, le temps étant mesuré en jours à partir de
l’instant de l’injection, la mortalité M : a été modélisée par la fonction :
M = –0,2083t
5 + 3,6742t
4 – 21,913t
3 + 46,25t
2 + 9,5455t – 37,143
avec un coefficient de détermination r
2
≈ 0,9942 très proche de 1, ce
qui permet de valider le modèle sur l’intervalle [1;6]. On suppose que,
sur cet intervalle, la fonction
est strictement croissante.
Au bout de combien de temps obtient-on une mortalité de 50 % ?
5
\
− −
=
⋅
+
2
1
( )
1
x x
f x
x
= −
∈
− ,
+
= +
5
2
2
( )
9
{ 3 3}
( 2)
( )
3
t
x t
t
t
t t
y t
t
\
{
= − ,
+ ,
− , .
2
0 00108
1 145
59 66
y
x
x
≈ ,
2
0 866
r
( )
t
M t
6 →