Solutions
181
La proportion d’individus réceptifs augmente donc moins que dans le
cas a) de l’exercice précédent.
7.4 1. Supposons que la première espèce soit absente, c’est-à-dire
x = 0.
Dans ce cas, la fonction (0, y(t)) avec
est solution du système différentiel considéré.
Cette équation différentielle admet deux points singuliers
et
Le linéarisé de cette équation en
est
et en y 2 :
.
Comme d > 0, on en déduit que y 1 est un point d’équilibre instable et
y 2 un point d’équilibre stable.
L’étude est la même pour y = 0.
2. En résolvant le système algébrique :
on trouve quatre points d’équilibre :
(0,0),
,
, et
si
.
3. Avec les valeurs numériques de l’énoncé, le système devient :
Le point d’équilibre à étudier est
.
Le linéarisé du système différentiel au voisinage de A est obtenu en
faisant le changement de variables :
en ne gardant que les termes de degré 1 dans le système obtenu, ce qui
donne :
( ) (
( )) ( )
y t
d e y t y t
= −
′
1
0
y =
2
d
y
e
= ⋅
1
0
y =
Y dY
=
Y
dY
= −
2
2
0
0
a x b x c x y
d y e y f x y
−
−
=
−
−
=
{
0
d
e
,
( ) 0
a
b
, )
(
,
ae cd bd af
A
be cf be cf
−
−
= (
)
0
be cf
− ≠
2
2
( ) 0 5 ( ) 0 8 ( ) 0 3 ( ) ( )
( ) 0 2 ( ) 0 9 ( ) 0 2 ( ) ( )
x t
x t
x t
x t y t
y t
y t
y t
x t y t
= ,
− ,
− ,
′
= ,
− ,
− ,
′
{
0 65 1
11 11
A
, , )
(
0 65
1
11
11
X x
Y y
,
= −
;
= −
d
4 16
0 195
d
11
11
d
0 2
0 27
d
11
11
X
X
Y
t
Y
X
Y
t
,
,
=
−
,
,
= −
+
{