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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
4. Les points d’équilibre de ce dernier système sont de la forme
où
. À l’équilibre, on a donc y = 0, ce qui signifie que :
– le nombre de contagieux est nul,
– les nombres de sains et de guéris ne changent pas.
7.3 1. Le nombre x(t) diminue pendant un intervalle de temps dt
d’une quantité proportionnelle aux nombres x(t) et y(t) d’individus
sains et contagieux pouvant être en contact et à la probabilité β de
transmission de la maladie. En même temps, il augmente de la fraction
des individus du troisième groupe qui perdent leur immunité.
Le nombre y(t) d’individus contagieux varie comme dans l’exercice
précédent.
Enfin, le nombre z(t) d’individus immunisés augmente à la vitesse
pour ceux qui sortent de la maladie, mais diminue à la vitesse
pour ceux qui redeviennent réceptifs.
On obtient ainsi le système différentiel :
2. Avec les valeurs indiquées pour les paramètres, on obtient les courbes suivantes :
0
( 0)
x ,
0
x
+
∈\
( )
z t
δ
( )
y t
γ
( )
z t
δ
d
( ) ( )
( )
d
d
( ) ( )
( )
d
d
( )
( )
d
x
x t y t
z t
t
y
x t y t
y t
t
z
y t
z t
t
β
δ
β
γ
γ
δ
= −
+
=
−
=
−
{
Figure 7.29