Solutions
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2. a) Dans le cas β = 0,001 et γ = 0,1, on obtient à l’aide d’un tableur :
Les individus infectieux se maintiennent longtemps dans la population.
b) Dans le cas β = 0,005 et γ = 0,5, on obtient à l’aide d’un tableur :
Dans ce cas, il y a disparition assez rapide des individus réceptifs.
3. La fonction définie par
est une intégrale première.
Vous pouvez facilement vérifier que cette fonction convient. L’idée vient de l’observation que la somme des seconds membres du système est nulle.
Notons N 0 l’effectif total de la population.
On a alors
et le problème se réduit à la recherche de x et y qui vérifient le système :
Figure 7.27
Figure 7.28
(
)
F x y z x y z
, , = + +
0
( )
( ) ( )
z t N x t y t
=
−
−
( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( )
x t
x t y t
y t
x t
y t
β
β
γ
= −
′
=
−
′
{
( )
( ) ( )
x t
x t y t
β
= −
′