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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
En multipliant les deux membres de l’égalité par y, puis en remplaçant y par 0, on obtient
On a donc :
4. L’équation vérifiée par y peut s’écrire :
ou encore, avec la question précédente :
Par calcul de primitives, on a donc :
soit
, puis
, et en définitive :
Pour déterminer la constante K, il faut connaître la situation initiale,
au début de l’épidémie.
7.2 1. Le nombre x(t) diminue pendant un intervalle de temps dt
d’une quantité proportionnelle aux nombres x(t) et y(t) d’individus
sains et contagieux pouvant être en contact et à la probabilité β de
transmission de la maladie.
Le nombre z(t) d’individus sortis de l’épidémie (par guérison ou
décès) est proportionnel au nombre y(t) d’individus contagieux et à la
probabilité de sortie γ.
Le nombre y(t) d’individus contagieux augmente de ceux qui contractent la maladie et diminue de ceux qui en sortent.
On obtient ainsi le système différentiel :
1
b
N
= ⋅
1
1
1
1
(
)
N y y n N y y
=
+ .
−
−
]
[
1
( )
(
( )) ( )
y t
N y t y t
β
=
′
−
1
y
y
N N y y
β
′
′
+
= .
−
]
[
1 [ ln(
) ln ]
cte
N y
y
t
N
β
−
− +
= + .
ln
cte
y
N t
N y
β
=
+
)
( –
e
N t
y
K
N y
β
=
−
( )
1
e
N t
N
y t
K
β
−
=
⋅
+
d
( ) ( )
d
d
( ) ( )
( )
d
d
( )
d
x
x t y t
t
y
x t y t
y t
t
z
y t
t
β
β
γ
γ
=
−
=
−
=
{