Solutions
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1. Si l’une des deux espèces est absente, décrivez les trajectoires de
l’autre (points d’équilibre ...).
2. Trouvez les points d’équilibre du système différentiel. On note A
celui qui est en dehors des axes.
3. On choisit a = 0,5, b = 0,8, c = 0,3, d= 0,2, e = 0,9, f = 0,2.
Construisez le linéarisé du système au voisinage de A.
Étudiez la stabilité du point d’équilibre A.
SOLUTIONS
7.1 1. Pendant l’intervalle de temps dt, il apparaît
nouveaux cas de contagieux (proportionnalité avec le nombre d’individus pouvant être en contact et la probabilité de contamination).
Le nombre d’individus sains diminue de la même quantité puisque la
population totale est constante.
On obtient donc le système différentiel :
2. Si on remplace x(t) par N – y(t), on a :
Pour que la variation de y soit maximum, il faut que
.
Comme
, cette condition entraîne que
Il s’agit bien d’un maximum puisque
pour
et
pour
En conclusion,
augmente progressivement jusqu’à ce que l’effectif des contagieux soit égal à la moitié de l’effectif total, puis diminue
au fur et à mesure qu’il reste de moins en moins de sujets sains.
3. En multipliant les deux membres de l’égalité par N – y, puis en
remplaçant y par N, on obtient
( ) ( )
x t y t
β
d
( ) ( )
d
d
( ) ( )
d
x
x t y t
t
y
x t y t
t
β
β
= −
=
{
d
(
( )) ( )
d
y
N y t y t
t
β
=
−
2
2
d
0
d
y
t
=
2
2
d
d [
2 ( )]
d
d
y
y N
y t
t
t
β
=
−
( )
2
N
y t = ⋅
d
0
d
y
t
>
2
N
y <
d
0
d
y
t
<
2
N
y > ⋅
d
d
y
t
1
a
N
= ⋅