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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
contagieux est β, et la probabilité qu’un contagieux devienne immunisé ou meure est notée γ.
1. Écrivez le système différentiel qui décrit les vitesses de variation de
x(t), de y(t) et de z(t).
2. Avec les valeurs initiales
,
et
, tracez, à l’aide
d’un grapheur, les courbes de variation des fonctions x, y et z :
a) dans le cas β = 0,001 et
;
b) dans le cas β = 0,005 et
.
3. Montrez qu’il existe une intégrale première. Déduisez-en un
système différentiel vérifié seulement par les fonctions x et y.
4. Trouvez les points d’équilibre de ce dernier système, et interprétezles.
7.3 Encore une épidémie
Dans le cas d’une maladie contagieuse non mortelle, on note x(t) le
nombre d’individus réceptifs, y(t) le nombre d’individus contagieux
et z(t) le nombre d’individus immunisés à cause de la maladie.
Dans ce modèle, l’immunisation n’est pas définitive et un certain
nombre d’individus du troisième groupe peuvent contracter à
nouveau la maladie.
Au cours d’un intervalle de temps dt, on appelle β la probabilité
qu’un réceptif contracte la maladie au contact d’un contagieux, γ la
probabilité qu’un individu du troisième groupe devienne immunisé
après avoir contracté la maladie, et δ la probabilité qu’un individu du
troisième groupe redevienne réceptif.
1. Écrivez le système différentiel qui décrit les vitesses de variation de
x(t), de y(t) et de z(t).
2. Avec les valeurs initiales
,
et
, tracez, à l’aide
d’un grapheur, les courbes de variation des fonctions x, y et z, dans le
cas β = 0,001, γ = 0,1 et δ = 0,1.
7.4 La lutte pour la vie
Deux espèces A et B, d’effectifs respectifs x(t) et y(t), sont en compétition pour les mêmes ressources alimentaires.
On suppose que leur croissance est logistique, c’est-à-dire en milieu
limitant et en temps continu, et que l’abondance de chacune d’elles
représente un surcroît de limitation pour l’autre.
On peut alors modéliser la situation par le système différentiel (où
tous les coefficients sont strictement compris entre 0 et 1) :
0
489
x =
0
10
y =
0
1
z =
0 1
γ = ,
0 5
γ = ,
0
489
x =
0
10
y =
0
1
z =
2
2
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x t a x t b x t c x t y t
y t d y t e y t f x t y t
=
−
−
′
=
−
−
′
{
Chapitre 7 • Systèmes différentiels
contagieux est β, et la probabilité qu’un contagieux devienne immunisé ou meure est notée γ.
1. Écrivez le système différentiel qui décrit les vitesses de variation de
x(t), de y(t) et de z(t).
2. Avec les valeurs initiales
,
et
, tracez, à l’aide
d’un grapheur, les courbes de variation des fonctions x, y et z :
a) dans le cas β = 0,001 et
;
b) dans le cas β = 0,005 et
.
3. Montrez qu’il existe une intégrale première. Déduisez-en un
système différentiel vérifié seulement par les fonctions x et y.
4. Trouvez les points d’équilibre de ce dernier système, et interprétezles.
7.3 Encore une épidémie
Dans le cas d’une maladie contagieuse non mortelle, on note x(t) le
nombre d’individus réceptifs, y(t) le nombre d’individus contagieux
et z(t) le nombre d’individus immunisés à cause de la maladie.
Dans ce modèle, l’immunisation n’est pas définitive et un certain
nombre d’individus du troisième groupe peuvent contracter à
nouveau la maladie.
Au cours d’un intervalle de temps dt, on appelle β la probabilité
qu’un réceptif contracte la maladie au contact d’un contagieux, γ la
probabilité qu’un individu du troisième groupe devienne immunisé
après avoir contracté la maladie, et δ la probabilité qu’un individu du
troisième groupe redevienne réceptif.
1. Écrivez le système différentiel qui décrit les vitesses de variation de
x(t), de y(t) et de z(t).
2. Avec les valeurs initiales
,
et
, tracez, à l’aide
d’un grapheur, les courbes de variation des fonctions x, y et z, dans le
cas β = 0,001, γ = 0,1 et δ = 0,1.
7.4 La lutte pour la vie
Deux espèces A et B, d’effectifs respectifs x(t) et y(t), sont en compétition pour les mêmes ressources alimentaires.
On suppose que leur croissance est logistique, c’est-à-dire en milieu
limitant et en temps continu, et que l’abondance de chacune d’elles
représente un surcroît de limitation pour l’autre.
On peut alors modéliser la situation par le système différentiel (où
tous les coefficients sont strictement compris entre 0 et 1) :
0
489
x =
0
10
y =
0
1
z =
0 1
γ = ,
0 5
γ = ,
0
489
x =
0
10
y =
0
1
z =
2
2
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x t a x t b x t c x t y t
y t d y t e y t f x t y t
=
−
−
′
=
−
−
′
{