Mots clefs
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MOTS CLEFS
➤ Épidémiologie
➤ Équilibre
➤ Stabilité
➤ Trajectoire
EXERCICES
7.1 Attention aux contacts
On considère une maladie transmissible par contact entre deux individus. Notons x(t) le nombre d’individus sains et non porteurs de la
maladie (les réceptifs) et y(t) les contagieux (porteurs ayant déclaré
ou non la maladie).
Nous supposerons que la somme
est constante, c’està-dire qu’il n’y a pas de naissance, pas de mortalité, pas de déplacement d’individus.
Au cours d’un intervalle de temps dt, lorsqu’il y a contact entre un
réceptif et un contagieux, la probabilité que le réceptif devienne
contagieux est β.
1. Écrivez le système différentiel qui décrit les vitesses de variation de
x(t) et de y(t).
2. Écrivez l’équation différentielle vérifiée par y lorsque y peut
augmenter jusqu’à N. Quand la variation de y atteint-elle son maximum?
3. Déterminez deux réels a et b tels que:
4. Résolvez l’équation différentielle vérifiée par y.
7.2 Modèle de Kermack et Mac Kendrick (1927)
On considère une maladie transmissible par contact entre deux individus. Notons x(t) le nombre d’individus réceptifs (sains non porteurs),
y(t) le nombre d’individus contagieux (porteurs malades ou non) et
z(t) le nombre d’individus guéris et immunisés.
Nous supposerons que la somme
est constante,
c’est-à-dire qu’il n’y a pas de naissance, pas de mortalité, pas de
déplacement d’individus.
Au cours d’un intervalle de temps dt, lorsqu’il y a contact entre un
réceptif et un contagieux, la probabilité que le réceptif devienne
U
S
B
( ) ( )
x t y t N
+
=
1
(
)
a
b
N y y N y y
=
+ ⋅
−
−
( ) ( ) ( )
x t y t z t N
+
+
=