1.4 • Courbes paramétrées du plan
13
• Cercle dans le plan
Un cercle dans le plan est caractérisé par la donnée de son centre (a,b)
et de son rayon r. Une équation cartésienne est :
.
Si l’on pose
et
, on obtient une
représentation paramétrée du même cercle.
Réciproquement, la courbe définie par
est le cercle de centre (–1;0) et de rayon 2.
1.5.2 Tangente en un point
• Soit C la courbe paramétrée définie par
sur un intervalle ouvert I. Soit
et
le point correspondant.
Si le couple
n’est pas nul, c’est un vecteur directeur
de la tangente T à la courbe C en M 0 .
Cette tangente admet donc pour équation paramétrée :
• Par exemple, le cercle centré à l’origine (0;0) et de rayon 1 admet
une représentation paramétrée :
➤ Au point
,
une équation paramétrée de la
tangente est :
Nous pouvons en déduire une équation cartésienne de cette
tangente en éliminant le paramètre t :
.
−
+ −
=
2
2
2
(
) (
)
x a
y b
r
= +
( )
cos
x t a r
t
= +
( )
sin
y t a r t
π
= − +
∈ ,
=
( )
1 2cos
[0 2 [
( )
2 sin
x t
t
t
y t
t
{
Dans la représentation graphique d’une courbe paramétrée, on ne
tient compte que des variations des coordonnées x et y en fonction
du paramètre t, qui est absent du plan.
,
( ( ) ( ))
t
x t y t
6
∈
0
t I
=
,
0
0
0
( ( ) ( ))
M
x t y t
,
′
′
0
0
( ( ) ( ))
x t y t
=
+
−
′
∈
=
+
−
′
0
0
0
0
0
0
( )
( )
( )(
)
( )
( )
( )(
)
X t
x t
x t t t
t
Y t
y t
y t t t
\
{
π
=
;
=
∈ ,
( ) cos
( ) sin
[0 2 [
x t
t
y t
t
t
π =
2
4
2
M
(
( )
2
2 )
π
π
=
−
−
=
+
−
2
2
( )
2
2
4
2
2
( )
2
2
4
X t
t
Y t
t
{
( )
)
(
+ = 2
X Y